已知曲线x^2/a^2 y^2=1(a>0)与直线l:x+y=1

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/08/22 01:04:44
已知曲线x^2/a^2-y^2=1(a>0)与直线l:x+y=1交于A,B两点。
（1）求离心率e的取值范围。
（2）设l与y轴交于点P，且向量PA=5/12向量PB，求a的值。

c^2=a^2+b^2=a^2+1
e=c/a
e^2=c^2/a^2=1+1/a^2
所以 a^2=1/(e^2-1)
代入原方程就有：
(e^2-1)x^2-y^2-1=0
再将x+y=1,即y=(1-x)代入，有

(e^2-1)x^2-(x-x)^2-1=0
(e^2-2)x^2+2x-2=0 -----(1)
因为有两个交点，所以
判别式=4+2*4*(e^2-2)>0
e^2>3/2
所以 e>(√6)/2

L与y轴的交点是当x=0时，y=1，所以P点是(0,1)，因为A、B在直线L上，所以我们令A(m,1-m),B(n,1-n),我们有：

m/n=5/12
并且 A、B是双曲线与L的交点，所以m,n是方程(1)的两个根
这样有，m+n=-2/(e^2-2), mn=-2/(e^2-2)
即mn=m+n，且m/n=5/12
解得m=17/5
n=17/12
e^2=458/289
这样，a^2=1/(e^2-1)=289/169
a>0
所以a=17/13